信号保持

Signal Holding
保持器：将数字信号转换为连续信号，本质是解决采样点之间的插值问题。

为了实现对被控对象的有效控制，必须把数字信号恢复为连续信号，实践上，常采用接近理想低通滤波器的零阶保持器对信号进行重构

一、保持器数学描述

在 $n T$ 时刻：

e (t) |_{t = n T} = e (n T) = e^{*} (n T)

在 $(n + 1) T$ 时刻：

e (t) |_{t = (n + 1) T} = e [(n + 1) T] = e^{*} [(n + 1) T]

在 $0 < Δ t < T$ 时，使用多项式插值，递推公式：

e (n T + Δ t) = a_{0} + a_{1} Δ t + a_{2} (Δ t)^{2} + \dots + a_{m} (Δ t)^{m}

$n T + Δ T$ 时刻的输出的值，取决于 $Δ t = 0, - T, - 2 T, \dots, - m T$ 时
各过去时刻的离散信号 $e^{*} (n T), e^{*} [(n - 1) T], \dots, e^{*} [(n - m) T]$ 的 $(m + 1)$ 个值
称为 m 阶保持器

二、零阶保持器 ZOH

Zero-Order Holder

零阶保持器：

\begin{array}{r} f_{h} (t) = 1 (t) - 1 (t - T) \end{array}

零阶保持器的传递函数：

\begin{array}{r} L [1 (t) - 1 (t - T)] = \frac{1}{s} - \frac{1}{s} \exp (- T s) = \frac{1 - \exp (- T s)}{s} \end{array}

绝大部分使用零阶保持器，产生大约 $\frac{1}{2}$ 个周期的纯滞后

\begin{array}{r} \frac{1}{s} - \frac{1}{s} e^{- T s} = \frac{1 - \exp (- T s)}{s} = \frac{\exp (\frac{1}{2} T s) - \exp (- \frac{1}{2} T s)}{\exp (\frac{1}{2} T s) \cdot s} \approx \frac{1 + \frac{1}{2} T s - (1 - \frac{1}{2} T s)}{\exp (\frac{1}{2} T s) \cdot s} = T \exp (- \frac{1}{2} T s) \end{array}

数字控制器#零阶保持器和惯性环节串联的 z 变换